Examples of mirror partners arising from integrable systems

In this note we present pairs of hyperkähler orbifolds which satisfy two different versions of mirror symmetry. On the one hand, we show that their Hodge numbers (or more precisely, stringy E-polynomials) are equal. On the other hand, we show that they satisfy the prescription of Strominger, Yau, and Zaslow (which in the present case goes back to Bershadsky, Johansen, Sadov and Vafa): that a Calabi-Yau and its mirror should fiber over the same real manifold, with special Lagrangian fibers which are tori dual to each other. Our examples arise as moduli spaces of local systems on a curve with structure group SL(n); the mirror is the corresponding space with structure group PGL(n). The special Lagrangian tori come from an algebraically completely integrable Hamiltonian system: the Hitchin system. c © Académie des Sciences/Elsevier, Paris Partenaires miroirs provenants des systèmes intégrables Résumé. Nous présentons dans cette note des paires de V–variétés hyperkähleriennes satisfaisant deux formulations différentes de la symétrie miroir. Nous montrons d’une part que leurs nombres de Hodge (plus précisément, leurs E–polynômes de cordes) coinc̈ıdent. D’autre part, nous montrons qu’elles satisfont le critère de Strominger, Yau et Zaslow, c’est–à–dire qu’elles sont fibrées sur la même variété réelle, de sorte que les fibres soient des tores Lagrangiens spéciaux duaux entre eux. Nos exemples se présentent comme espaces de modules de systèmes locaux sur une courbe avec groupe de structure SL(n); le miroir est l’espace correspondant avec groupe de structure PGL(n). Les tores Lagrangiens spéciaux proviennent d’un système Hamiltonien complètement intégrable algébriquement, le système de Hitchin. c © Académie des Sciences/Elsevier, Paris Version Française Abrégée Il s’agit dans cette note de donner quelques exemples de variétés algébriques complexes où l’on peut vérifier directement les prédictions de symétrie miroir, au sens de Strominger-Yau-Zaslow [12]. SoientM et M̂ des V -variétés Calabi-Yau de dimension complexe n. On appelle M̂ un partenaire miroir faible de M s’il existe une V -variété N de dimension réelle n, et des applications lisses π : M → N , π̂ : M̂ → N telles que, sur un ouvert dense de N , les fibres Lx = π (x) et L̂x = π̂ (x) sont des tores Lagrangiens spéciaux, et que les systémes locaux π1(Lx) et π1(L̂x) sont en dualité. To appear in C. R. Acad. Sci. Paris. T. Hausel, M. Thaddeus Considérons le cas où M est hyperkähler, c’est-à-dire Kähler par rapport à trois structures complexes J1, J2, J3 : TM → TM satisfaisant les relations de commutation des quaternions imaginaires. Lemme. – Dans ce cas, L ⊂ M est Lagrangien spécial par rapport à J1 s’il est Lagrangien holomorphe par rapport à J2. Si de plus M est un système Hamiltonien complètement intégrable algébriquement (SHCIA), alors il existe sur un ouvert dense une fibration par tores Lagrangiens holomorphes, comme on s’y attend. L’exemple-clé est le système de Hitchin, que l’on peut décrire comme suit. Soit C une courbe lisse complexe projective de genre g, p ∈ C un point de base, et n un entier, le rang. Pour chaque d ∈ Z, soit M Dol l’espace de modules des fibrés de Higgs semistables (E, φ) sur C satisfaisant ΛE ∼= O(d p) et trφ = 0. De la meme façon, soit M DR l’espace de modules des systèmes locaux sur C avec groupe de structure SL(n) sur C\{p}, dont la monodromie autour de p est e. Nous renvoyons à Simpson [7,8] pour les définitions exactes. Théorème (Hitchin, Simpson). – Avec la notation ci-dessus, (1) il existe un homéomorphisme M DR ≃ M d Dol, et une structure hyperkählerienne sur la partie lisse dont les structures complexes J1 et J2 sont celles provenant de M d DR et M d Dol; (2) il existe une famille algébrique equisingulière MHod → A 1 dont le fibre en zéro est M Dol et dont les autres fibres sont M DR; il existe de plus une action de GL(1) sur M d Hod qui relève l’action linéaire sur A; (3) il existe un morphisme propre μd : M d Dol → V , où V est un espace affine indépendant de d, qui fait de M Dol un SHCIA. Théorème 1. – Ce résultat reste valable, sur une courbe C avec un nombre fini de points choisis, pour les espaces M Dol des fibrés de Higgs semistables paraboliques avec des poids fixes, et pour les espaces M DR des systèmes locaux filtrés avec la monodromie correspondante. Nous définissons les espaces de modules correspondants avec groupe de structure PGL(n) comme étant les quotients les quotients de leurs contreparties SL(n) par le groupe abélien fini Γ = Pic(C)[n] ∼= Z n . Celui-ci opère par tensorisation, et préserve toutes les applications qui apparaissent dans le Théorème plus haut. Nous indiquerons par un accent circonflexe le passage au quotient par Γ: par exemple, le morphisme μd : M d Dol → V déscend à μ̂d : M̂ d Dol → V . Proposition. – Pour v ∈ V générique, les fibres μ d (v) et μ̂ −1 d (v) sont des espaces principaux homogènes des variétés abéliennes polarisées μ 0 (v) and μ̂ −1 0 (v), qui sont duales entre elles. Pour un d quelconque, M Dol (resp. M̂ 0 Dol) admet donc une fibration holomorphe par tores duaux à ceux de M̂ Dol (resp. M d Dol). En appliquant le lemme, on trouve que le partenaire miroir de M DR (resp. M̂ d DR) doit être M̂ 0 DR (resp. M 0 DR). Puisque ces espaces sont des V -variétés hyperkähleriennes, à cause de la symétrie miroir [8], nous pouvons prédire que leurs polynômes de Hodge, ou plutot leurs E-polynômes de cordes [1], notés Est, doivent etre égaux. On peut vérifier la prédiction dans deux cas, où tous les espaces qui interviennent sont des V -variétés. Considérons d’abord le cas parabolique, en supposant qu’il existe un point avec structure parabolique où les poids sont suffisament génériques. Conjecture. – Dans ce cas, pour c, d ∈ Z, Est(M c DR) = Est(M c Dol) = Est(M̂ d Dol) = Est(M̂ d D). Théorème 2. – Ceci est valable pour n = 2 et n = 3.